Sljedeći problem je dobio ime po američkom TV voditelju Monty Hallu.
Monty Hall je pred natjecatelja postavio troja zatvorena vrata te mu je rečeno da je iza jednih vrata auto, a iza preostalih dvaju vrata koze. Natjecatelj ne zna iza kojih se vrata nalazi auto, a iza kojih su koze i raspored auta i koza je slučajan.
Igra se sastojala u tome da natjecatelj odabere jedna vrata. Nakon što je natjecatelj odabrao svoja vrata, a prije nego je imao priliku otvoriti ih, voditelj kviza je otvorio jedna od preostalih neodabranih vrata iza kojih se nalazila koza i ponudio natjecatelju mogućnost da promijeni svoj izbor, odnosno da odustane od prvotno odabranih vrata i odabere druga (još neotvorena) vrata.
Razmisli: Treba li natjecatelj promijenit vrata?
Većina natjecatelja u kvizu postupila je matematički neispravno. Ovo je dobar trenutak da stanete s čitanjem teksta i stavite se u položaj natjecatelja.
Što bi ti učinio?
Pokreni simulaciju nekoliko puta i testiraj svoju hipotezu.
Rješenje
Početna vjerojatnost da je natjecatelj odabrao vrata iza kojih se nalazi auto iznosi 1/3 (jer se iza samo jednih vrata nalazi auto). To znači da je šansa da odabere “pogrešna” vrata jednaka 2/3. Uzmimo za primjer da je natjecatelj odabrao vrata broj 1. U tom trenutku vjerojatnost da se auto nalazi iza vrata broj 1 iznosi upravo 1/3, a šansa da je auto iza nekih od preostalih vrata (broj 2 i 3) iznosi 2/3. Nakon toga, voditelj mu otvara neka vrata (različita od onih koje je odabrao) i pokazuje mu da se iza njih nalazi koza. Voditelj postavlja pitanje hoće li promijeniti vrata ili će ostati pri prvotnom odabiru. Većina natjecatelja bila je naivna i razmišljala na sljedeći način: “Preostala su još dvoja vrata, iza jednih je auto, iza drugih koza. Dakle, vjerojatnost da je moj prvotni odabir točan sada iznosi 1/2. Ostajem pri svojem prvom odabiru”. Međutim, ovo je loš potez natjecatelja jer si je upravo propustio povećati šanse za osvajanje automobila. Zašto? Vratimo se na početak priče. Natjecatelj je odabrao vrata broj 1 i vjerojatnost da osvoji auto tada iznosi 1/3. To pak znači da je auto iza vrata 2 ili 3 s vjerojatnošću od 2/3. Voditelj nam je otvorio jedna od tih vrata 2 ili 3 iza kojih se nalazi koza (recimo npr. vrata broj 3). Korigirajmo sada zaključak iz prethodne rečenice: Vjerojatnost da je auto iza vrata broj 1 iznosi 1/3, a vjerojatnost da je auto iza vrata 2 ili 3 iznosi 2/3. Međutim, znamo da auto nije iza vrata 3, dakle vjerojatnost da je auto iza vrata broj 1 sada iznosi 1/3, a vjerojatnost da je auto iza vrata broj 2 sada iznosi 2/3! Dakle, natjecatelj bi mijenjanjem vrata povećao šanse za osvajanje auta čak 2 puta!
